Basiswissen

Eine sogenannte verknüpfte oder zusammengesetze Funktion. Für die Ableitung benötigt man sowohl die Produkt- als auch die Kettenregel. Dieser Funktionstyp war von 2020 bis 2023 Gegenstand der Abiturprüfungen in Nordrhein-Westfalen. Die Funktion ist hier kurz erklärt.

Bildbeschreibung und Urheberrecht — Der Graph von f(x)=(0,05x²-0,05x)·e^(2x+1). Der y-Achsenabschnitt ist bei etwa 2,718 und die Nullstellen liegen bei 0 und 1.☛

Funktionstyp

f(x)=p(x)·e^(ax+b)

Legende

f ist der 👉 Funktionsname

x ist das 👉 Funktionsargument

Funktionsbezeichnung 👉 f(x)

p(x) 👉 ganzrationale Funktion [aus Polynomen]

e 👉 Eulersche Zahl [etwa 2,718]

^ 👉 Hochzeichen

ax+b 👉 linearer Term

Verknüpfte oder zusammengesetzte Funktion

Der Funktionsterm p(x)·e^(ax+b) stellt eine Verknüpfung, auch Zusammensetzung, von zwei einfacheren Termen dar: der ganzrationale Term p(x) und der Expoentialterm e^(ax+b) werden per Multiplikation verknüpft oder zusammengesetzt. Lies mehr unter 👉 zusammengesetzte Funktion

Ableiten über Produktregel

Der Funktionsterm p(x)·e^(ax+b) ist ein Produkt, bei dem auf zwei Seiten des Malzeichens mindestens ein x steht. Solang das gilt, muss man die sogenannte Produktregel zum Ableiten anwenden. Das p(x) setzt man dabei als u und das e^(ax+b) setzt man als v. Dann ist die Ableitung: u'·v+u·v'. Lies mehr unter 👉 ableiten über Produktregel

Ableiten über Kettenregel

Der Term e^(ax+b) ist ein sogenannter Exponentialterm mit der sogenannten Eulerschschen Zahl e als Basis. Die Ableitung von genau diesem Funktionstyp ist dann immer: a·e^(ax+b). Zum Hintergrund lies unter 👉 e-Funktion ableiten [mit Kettenregel]

y-Achsenabschnitt berechnen

Der y-Achsenabschnitt ist derjenige Punkt auf der y-Achse, durch den der Graph von f(x) hindurchgeht. Um ihn zu bestimmen, setzt man für x die Zahl 0 ein und berechnet den Funktionswert. Dieser Funktionswert ist dann auch der 👉 y-Achsenabschnitt berechnen

Nullstellen berechnen

f(x)=p(x)·e^(ax+b) kann - muss aber nicht - eine Nullstelle haben. Man setzt für f(x) zunächst 0 ein und erhält: 0=p(x)·e^(ax+b). Der Exponentialterm e^(ax+b) kann niemals 0 werden. Aber der ganzrationale Term p(x) kann Nullstellen haben. Die Nullstellen von p(x) sind dann autonmatisch auch die Nullstellen von f(x). Der gedankliche Hintergrund zu diesem Lösungsansatz ist der 👉 Satz vom Nullprodukt